Күштер жүйелерінің тепе-теңдігі. Үйкеліс. Ауырлық центрі

3 дәріс. Күштер жүйелерінің тепе-теңдігі. Үйкеліс. Ауырлық центрі 
          Дәрістің мазмұны:  күштер жүйелерінің тепе-теңдік шарттары, сырғанау үйкелісі мен домалау үйкелісі, қатты денелердің ауырлық центрі.
Дәрістің мақсаты: кеңістік және жазық күштер жүйелерінің тепе-теңдік шарттарын  анықтау, үйкеліс болғанда есептерді шешудің ерекшеліктерін қарастыру, дененің ауырлық центрін анықтауды үйрену. 
Тақырыптың негізгі сұрақтары:

1. Денеге түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары
2. Денелер жүйесінің тепе-теңдігі. Статикалық түрде анықталатын және статикалық түрде анықталмайтын жүйелер
3. Сырғанау үйкелісі. Тегіс емес беттің реакциясы
4. Домалау кезіндегі байланыстың реакциясы
5. Қатты дененің ауырлық центрі

 
3.1 Денеге түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары 
Кез келген КЖ тепе-теңдікте болу үшін мына теңдеулердің орындалуы қажетті де жеткілікті 
,                               (3.1)
Бұл шарттар келесі тепе-теңдіктің аналитикалық шарттарына баламалы       
     ,           ,            ,               
   ,   ,    ,                              (3.2)
яғни АҚД-ге әсер ететін  кез келген КЖ-нің тепе-теңдігі үшін барлық күштердің декарт координаттар жүйесінің үш өсіне проекцияларының қосындылары  және сол өстерге қатысты барлық күштер моменттерінің қосындылары нөлге тең болуы қажетті де жеткілікті. 
Кеңістік параллель КЖ үшін (Oz өсі күштермен бағыттас) 
       ,       ,       .      (3.3)
          Кез келген жазық КЖ-сі үшін: күштердің екі координат өсіне проекцияларының қосындылары  және кез келген центрге қатысты күштердің алгебралық моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажетті де жеткілікті
       ,       ,       .       (3.4)
Екінші түрі:     ,            ,                        (3.5)
          мұнда түзуі өсіне перпендикуляр емес болу керек.
Үшінші түрі:    ,       ,                  (3.6)
          мұнда  А, В, С  бір түзудің бойында жатпау керек. 
          Жазық параллель күштер жүйесі үшін тепе-теңдік шарттары: 
,                                      (3.7)
мұнда Ox өсі күштерге перпендикуляр болмау керек;  немесе 
,                                   (3.8)
мұнда А мен В нүктелерінен өтетін түзу күштерге параллель болмау керек. 
3.2 Денелер жүйесінің тепе-теңдігі. Статикалық түрде анықталатын және статикалық түрде анықталмайтын жүйелер
Денелер жүйесінің бөліктерін қосатын байланыстар ішкі байланыстар деп аталады. Егер сыртқы байланыстарды күштерге ауыстырса, тепе-теңдік шарттары оларды анықтау үшін жеткіліксіз болады. Есептерді шешу әдістері: 
а) қосымша тепе-теңдік шарттарын құрады, мысалы, ішкі топсаға қатысты моменттерінің қосындысы түрінде; 
б) конструкцияны, оның ішкі байланыстарын күштерге ауыстырып,  бөліктерге ойша жіктейді де әр бөлігі үшін тепе-теңдік теңдеулерін құрайды.
Егер байланыстар реакцияларының белгісіз құраушыларының саны тәуелсіз тепе-теңдік теңдеулерінің санына тең болса, қарастырылатын жүйе статикалық түрде анықталатын, одан артық болса  статикалық түрде анықталмайтын жүйе (САЖ) деп аталады. САЖ жүйелердегі реакцияларды АҚД үшін қолданатын әдістермен табу мүмкін емес.   Мұндай есептерді шешу үшін денелердің деформациялануын есепке алу керек. 
3.3 Сырғанау үйкелісі. Тегіс емес беттің реакциясы
Сырғанау үйкелісінің Кулон – Амонтон заңдары:
1. Бір денені басқа дененің үстінде жылжытуға тырысқан жағдайда олардың жанасу жазықтығында  үйкеліс күші пайда болады, оның модулі 0≤F≤ F_max . Денеге түсірілген үйкеліс күші күш түскен нүктесінің мүмкіндік жылдамдығына қарама-қарсы болады. 
2. Максималды үйкеліс күші  f  үйкеліс коэффициенті мен N   нормаль қысым күшінің көбейтіндісіне тең                        F_max=f∙N.                            (3.9)
f  - жанасатын денелердің материалдары мен беттерінің қалпына (кедір-бұдырлығына, температурасына, ылғалдылығына және т.б.) тәуелді, ол тәжірибе арқылы анықталады. Мәндері: ағаш пен ағаш - 0,4-0,7; метал мен метал - 0,15-0,25; болат пен мұз - 0,027. 
 Тыныштық үйкелісі мен сырғанау үйкелісі айыра танылады. Тыныштық үйкелісінің коэффициенті F_max үйкеліс күші арқылы анықталады.  Әдетте ол сырғанау үйкелісінің коэффициентінен артық. Сырғанау жылдамдығының өсуімен сырғанау үйкелісінің коэффициенті басында   шамалы азаяды, содан кейін айтарлықтай өзгермейді. 
3. Максималды үйкеліс күші  жанасатын беттердің ауданына тәуелсіз.
Тегіс емес беттің реакциясы екі құраушы арқылы анықталады, олар (модулі нормаль қысым күшіне тең) және үйкеліс күші (3.1 суретті қара). Толық  реакциясы  нормаль бағыттан α бұрышына ауытқиды (tg α = F/N). 
Горизонталь тегіс беттің үстінде тұрған денеге ауырлық күштен басқа сыртқы күш түспесе, онда F = 0, толық реакция R= = N   және ол тіреуіш бетіне перпендикуляр болады. Денеге шамасы аз  күшін түсіріп, біз оны қозғалтуға тырыссақ, қозғалыс бола қалмайды, өйткені  үйкеліс күші пайда болады, және F<F_max.  күші артқан сайын  үйкеліс күші де артады. F₁ = F_max болғанда тепе-теңдіктің шеткі қалпы орын алады, сонда толық реакция вертикальдан үйкеліс бұрышы деп аталатын α_max бұрышына ауытқиды.  Оны φ арқылы белгілеп, мынаны анықтаймыз  
tg φ= F_max/N=f .                                             (3.10)
Идеалды емес байланыстың реакциясының бағыты үйкеліс бұрышымен шеттеледі. Әдетте үйкеліс күші ескерілуімен денелер тепе-теңдігінің шеткі (үйкеліс күші максималды болғандағы) қалпы қарастырылады.
3.4 Домалау кезіндегі байланыстың реакциясы 
 3.2,а суретте  домалау кезінде цилиндр тіреуші бетке жаншылып, онымен домалау бағыты жағына ығысқан   СD доғасымен кескінделетін бетпен әрекеттескені көрсетілген.   
Тіреуші беттің   толық реакциясы беттің деформациясынан туындаған таралған күштердің қосындысы ретінде цилиндрдің домалауына кедергі жасайды. Бір дененің басқа дененің бетінде домалау кезінде пайда болатын кедергі домалау үйкелісі деп аталады. Инженерлік есептеулер жүргізуде керегі - домалауға кедергі моменті (3.2,б суретті қара). Құбылыстың сұлбасын жасағанда, домалау деформацияланбайтын бетінде қарастырылады, ал  толық    реакциясы А нүктеcінен δ шамасына ауытқыған В нүктесіне түсетін екі құраушы күш арқылы көрсетіледі (3.2,в суретті қара). күші – сырғанау үйкеліс күші, ал - нормаль реакциясы. Онда
N = P,       F = Q,      Q_max∙r = δ∙N.                                 (3.11)
δ∙N = (М_кед)_max көбейтіндісі домалауға кедергі моменті деп аталады. Q күші аз болса, N  күшінің ауытқуы да аз болады; Q   өсуімен ауытқу артады. Q_max болғанда цилиндр тепе-теңдіктің шеткі қалпына жетеді, сонда N вертикаль диаметрден  домалау үйкелісінің коэффициенті деп аталатын, δ  шеткі   қашықтығында өтеді. δ  коэффициенті жанасатын денелер материалдардың қасиеттеріне және беттерінің қалпына тәуелді, ол тәжірибелік түрде анықталады (рельс үстімен домалаған дөңгелек  δ = 0,005 см,  шарикті подшипникте δ = 0,001 см). 
3.5 Қатты дененің ауырлық центрі 
Дененің А₁, A₂ нүктелерінде түсетін екі параллель  және күшті қарастырайық (3.3 суретті қара).  тең әсерлісінің әсер ету сызығы қосылатын күштерге параллель және  A₁A₂   түзуінде жатқан С  нүктесінен өтеді.  С нүктесінің орнын Вариньон теоремасын қолданып анықтай аламыз, онда
     .                  (3.12)
,  күштерін А₁, А₂ нүктелерінің айналасында бірдей α бұрышына бұрғанда, тең әсерлі күші де сол бағытта α  бұрышына бұрылады және дәл сол С нүктесіне түседі. С нүктесі параллель күштердің центрі деп аталады. Кез келген күштер саны үшін  де осылай болады.  
Дене бөлшектеріне түсетін , ,…, ауырлық күштерінің  тең әсерлісін   деп белгілейік (3.4 суретті қара). Оның модулі дененің салмағы деп аталады және келесідей анықталады
.                                               (3.13)
С  нүктесі  параллель ауырлық күштерінің центрі болып келеді, ол дененің ауырлық центрі деп аталады. Сонымен, АҚД-нің ауырлық центрі – денемен өзгеріссіз байланысқан дененің  кеңістікте кез келген орналасуында дене бөлшектеріне түсетін ауырлық күштерінің тең әсерлі күшінің ӘС өтетін  нүкте; оның координаттары 
,    ,                    (3.14)
мұндағы , , –   ауырлық күштері түсетін нүктелердің  координаттары. 
 
Бақылау сұрақтары:

1. Денеге түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттарына түсінік беріңіз.
2. Денелер жүйесінің тепе-теңдігі дегеніміз не?
3. Статикалық түрде анықталатын жүйе дегеніміз не?
4. Статикалық түрде анықталмайтын жүйе дегеніміз не?
5. Сырғанау үйкелісі.
6.  Тегіс емес беттің реакциясы қалай анықталады?
7. Домалау кезіндегі байланыстың реакциясы қалай анықталады?
8. Домалау үйкелісінің коэффициенті дегеніміз не?
9.  Қатты дененің ауырлық центрі қалай анықталады?
10. Сырғанау үйкелісінің Кулон – Амонтон заңдарын атаңыз.

 
Әдебиеттер тізімі:
1.Ә. Д. Дінасылов Механика. 050717-Жылу энергетикасы, 050718 – Электр энергетикасы, 050702 – Автоматтандыру және басқару мамандықтарының студенттері үшін есептеу – графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. - Алматы АЭжБИ, 2006. – 42 б.
2. Динасылов А. Д., Иванов К. С. Механика. Статика және кинематика: есептерді шешу:: оқу құралы. - Алматы: АЭжБУ, 2013. – 96 б. 
3.Вильке, в. В. Теориялық механика / В. Вильке. - СПб.: Лань, 2003. - 304 c. 
4.Вильке, В. Г. Теориялық механика: Оқулық, практикум / В. Г. Вильке. - Love: Yurate, 2016. - 311 c.